Spring相关知识点

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一、引言

  最近在学习机器学习，想用markdown记录一下自己的学习历程。无奈，其中的公式太多，只能用latex表示。（字丑，实在上不了台面）

二、推荐md编辑器

  强烈推荐vs code!!! 谁用这知道，太香了！而且插件丰富。我使用了 markdown preview enhanced 插件，就直接可以支持数学公式实时预览啦！

三、语法

  在markdown中，是使用mathjax来实现对latex数学公式的支持。

（一）显示方式

  这个有点像office word中的图片插入，只不过插入方式只有两种，紧密型 和 上下环绕型。

1.紧密型

  顾名思义，紧密型的四周都是文字。像普通文本一样显示的段落中。语法如下；
$...$，其中“…”表示数学公式。

例子：
  如果输入

求和函数——$\sum_{i=0}^N\int_{a}^{b}g(t,i)\text{d}t$的作用是

将会显示

求和函数——$\sum_{i=0}^N\int_{a}^{b}g(t,i)\text{d}t$的作用是

后面演示内容将默认含有$…$!!!

2.上下环绕型

  上下环绕型——使用单独一行来显示数学公式。语法如下：

$$...$$，其中“…”表示数学公式

例子：
  如果输入

求和函数——$$\sum_{i=0}^N\int_{a}^{b}g(t,i)\text{d}t$$的作用是

将会显示

求和函数——$\sum_{i=0}^N\int_{a}^{b}g(t,i)\text{d}t$的作用是

（二）希腊字母的显示

  以下都是小写的希腊字母，如果想编辑大写的希腊字母，首字母大写即可。
例子：

代码如下：

这是小写字母 \lambda ，这是大写字母 \Lambda

效果：

这是小写字母 $\alpha$ ，这是大写字母 $\Lambda$

希腊字母	表示方式	希腊字母	表示方式
$\alpha$	\alpha	$\nu$	\nu
$\beta$	\beta	$\xi$	\xi
$\gamma$	\gamma	$\pi$	\pi
$\delta$	\delta	$\rho$	\rho
$\epsilon$	\epsilon	$\sigma$	\sigma
$\zeta$	\zeta	$\tau$	\tau
$\eta$	\eta	$\upsilon$	\upxilon
$\theta$	\theta	$\phi$	\phi
$\iota$	\iota	$\chi$	\chi
$\kappa$	\kappa	$\psi$	\psi
$\lambda$	\lambda	$\omega$	\omega
$\mu$	\mu

（三）上标和下标

上标

  上标使用 “\^” 来表示。
代码：

2^3

显示效果：

$2^3$

下标

  下标使用 “_” 来表示。
代码：

X_3

显示效果：

$X_3$

（四）分组

  不知道你们考虑过这个问题没有？我要表示 $x^{y_3}$ 的话，应该如何写代码呢？所以就有了组合管理的必要了！
  我们先来实验一下在用一个变量上使用“ \^ ”和“ _ ”会怎么样？
例子：

X_2^3 与 X^3_2

显示效果：

$X_2^3$ 与 $X^3_2$

由此可以看出，对同一个对象使用 \^ 和 _ 时，无需考虑其顺序问题，放心大胆用就可以了。
  对于含有复杂的上下标对象应该如何编程呢？不用担心，latex为我们提供了特殊的分组（原文groups，原谅我拙劣的翻译能力）。使用” {} “即可编写出含有复杂上下标的对象。
例子：

X^{y^3}  X^{Y^{Z_3}}

显示效果：

$X^{y^3}$   $X^{Y^{Z_3}}$

tips：“ {} ”可以 多层嵌套 哦。

（五）括号

括号类型	表达方式(默认省略“$..$”)
$()$	()
$[]$	[]
$\{ \}$	\{ \}
$\langle \rangle$	\langle \rangle	0

为什么花括号“{ }”要使用“\”呢？其实原因上面已经提到了，“{}”在latex中起 分组 的作用，要和运算符区别开。

自适应大小的括号

  直接输入的括号的话，括号的大小是固定的。对于复杂的公式，如分式等，括号的大小。这时候就需要可以改变大小的括号了。

例子：(仔细观察，两个数学表达式的大小有一些不同)

$(\frac{\sqrt x}{y^3})$   $\left(\frac{\sqrt x}{y^3}\right)$

看一下代码：

(\frac{\sqrt x}{y^3})   \left(\frac{\sqrt x}{y^3}\right)

结论：

“ \left( ” 、 “ \right) ”能更具表达式的大小自动调节大小。

更多尺寸的括号

例子：

\Biggl(\biggl(\Bigl(\bigl((x)\bigr)\Bigr)\biggr)\Biggr)

显示结果：

$\Biggl(\biggl(\Bigl(\bigl((x)\bigr)\Bigr)\biggr)\Biggr)$

  大家可以自行探索哦！

（六）求和

代码为 \sum ， 效果 $\sum$

如果要加上上标和下标，并结合分组{}

\sum_1^n   \sum_{n=0}^{x^2}
$\sum_1^n$   $\sum_{n=0}^{x^2}$

（七）积分

  有几个 i ， 就是几重积分。

\int   $\int$
\iint   $\iint$
\iiint   $\iiint$

  积分上下限，同求和

\int_1^3     $\int_1^3$
\sum_{n=0}^{x^2}   $\sum_{n=0}^{x^2}$

（八）类似的函数

求积   \prod   $\prod$    也有上标和下标
并   \bigcup   $\bigcup$
交   \bigcap   $\bigcap$

（九）分式

  分式有三种表示方式。

方式一

   使用 \frac。

\frac   $\frac ab$

\frac   $\frac {b-c}{ab}$

方式二

  使用 \cfrac

\cfrac {a+1}{b+1}   $\cfrac {a+1}{b+1}$

方式三

  使用 \over 。和上面两个方式使用方法有些不同，注意例子。

a+5\over c+1  $a+5\over c+1$

（十）字型（用到较少，可跳过）

blackborad bold（黑板粗体）

  用于表示向量或集合符号。

\mathbb{abcdefABCDEF}  $\mathbb{abcdefABCDEF}$

\Bbb{abcdefABCDEF}  $\Bbb{abcdefABCDEF}$

boldface（黑体）

\mathbf{abcABC}   $\mathbf{abcABC}$

italics(斜体字)

\mathit{abcABC}   $\mathit{abcABC}$

boldfaced italics(粗体斜体)

\pmb{abcABC}   $\pmb{abcABC}$

typewriter(打印机字体)

\mathtt{abcABC}   $\mathtt{abcABC}$

roman font(罗马字体)

\mathrm{abcABC}   $\mathrm{abcABC}$

sans-serif

\mathsf{abcABC}   $\mathsf{abcABC}$

calligraphic(书法字体)

\mathcal{abcABC}   $\mathcal{abcABC}$

sript letters(手写体字母)

\mathscr{abcABC}   $\mathscr{abcABC}$

Fraktur(哥特)

\mathfrac{abcABC}   $\mathfrak{}{abcABC}$

（十一）平方根和立方根

平方根

\sqrt{x^3}   $\sqrt{x^3}$

立方根

\sqrt[3]{\frac xy}  $\sqrt[3]{\frac xy}$

n次方根

\sqrt[n]{\frac xy}   $\sqrt[n]{\frac xy}$

（十二）特殊函数

\lim    $\lim$
\lim{x\to 3}    $\lim_{x\to 3}$

\sin x    $\sin x$
\cos x    $\cos x$
\tan x    $\tan x$
…

组合

{n+1 \choose 2k}   ${n+1 \choose 2k}$

\binom{n+1}{2k}   $\binom{n+1}{2k}$

（十三）特殊符号

符号	表达方式		符号	表达方式
$\lt$	\lt		$\gt$	\gt
$\le$	\le		$\leq$	\leq
$\leqq$	\leqq		$\leqslant$	\leqslant
$\ge$	\ge		$\geq$	\geq
$\geqq$	\geqq		$\geqslant$	\geqslant
$\neq$	\neq		$\times$	\times
$\div$	\div		$\pm$	\pm
$\mp$	\mp		$\cdot$	\cdot
$\cup$	\cup		$\cap$	\cap
$\setminus$	\setminus		$\subset$	\subset
$\subseteq$	\subseteq		$\subsetneq$	\subsetneq
$\subsetneqq$	\subsetnneq		$\in$	\in
$\notin$	\notin		$\emptyset$	\empeyset
$\varnothing$	\varnothing		$\to$	\to
$\rightarrow$	\rightarrow		$\leftarrow$	\leftarrow
$\Rightarrow$	\Rightarrow		$\Leftarrow$	\Leftarrow
$\mapsto$	\mapsto		$\land$	\land
$\lor$	\lor		$\lnot$	\lnot
$\forall$	\forall		$\exists$	\exists
$\top$	\top		$\bot$	\bot
$\vdash$	\vdash		$\vDash$	\vDash
$\star$	\star		$\ast$	\ast
$\oplus$	\oplus		$\circ$	\circ
$\bullet$	\bullet		$\approx$	\approx
$\sim$	\sim		$\simeq$	\simeq
$\cong$	\cong		$\equiv$	\equiv
$\prec$	\prec		$\lhd$	\lhd
$\therefore$	\therefore		$\infty$	\infty
$\aleph$	\aleph		$\nabla$	\nabla
$\partial$	\partial		$\Im$	\Im
$\Re$	\Re		$\epsilon$	\epsilon
$\varepsilon$	\varepsilon		$\phi$	\phi
$\varphi$	\varphi		$\ell$	\ell
$\ldots$	\ldots		$\cdot$	\cdots
$\ddots$	\ddots		$\vdots$	\vdots

（十四）空格

  MathJax无法识别空格（准确来说是会忽略空格）。

输入 $a b$ ，输出 $a b$

单个空格( \\; )

代码

$a\\;b$    $a\;b$

四个空格( \quad )

$a\\quad b$   $a\quad b$

八个空格( \qquad )

$a\\qquad b$    $a\qquad b$

重音和变音符号

符号	表达方式
$\hat{x}$	\hat{x}
$\widehat{abc}$	\widehat{abc}
$\bar{x}$	\bar{x}
$\overline{abc}$	\overline{abc}
$\vec{x}$	\vec{x}
$\overrightarrow{abc}$	\overrightarrow{abc}
$\overleftrightarrow{abc}$	overleftrightarrow{abc}
$\dot{x}$	dot{x}
$\ddot{x}$	\ddot{x}

（十五）MathJax输出特殊符号

  特殊符号之前，加上“\\”即可输出特殊符号。
  但是！！！有一个符号mathjax无法通过这个方法输出！就是 “\\” 本身。因为 \\\\ 另有定义，是换行。输出“\\”的正确方法是 \backslash 。

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